算数、数学と　たまに理科

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先週、小６のクラスで場合の数をやった。

そのクラスは全体的に算数の成績がまったくもってあれなクラスである。

しかもほとんどが小６から入塾した生徒
（だから成績があれなわけだが…　「小６からじゃ遅すぎるだろ!!!」って話ははまた別の機会に^†）

まぁとにかく算数が苦手なクラスなんです。
なんせ「樹形図ってなんですか？」っていう生徒も珍しくないわけで。

なので、無理せず、
樹形図の書き方からはじまり
順列とはなにか
組み合わせとはなにか
順列との違い
などをできるだけ順列や組み合わせといった言葉を使わずに
その概念を伝えるようにした。

するとどうだろう、そんなクラスでも算数一番苦手子ちゃんがなんかスイスイ理解してる…
問題自体が簡単なんで理解してないならそれはそれで問題だったんですが・・・

とにかくいつもとは比べ物にならないくらいちゃんと理解してる。
その子は、国語は結構出来る子である。

おそらく論理的思考がある程度しっかりしているのだろう。
で、こういう算数でも論理的思考であることが比較的わかりやすい単元はすんなり入っていけるのかもしれない。
こういう子は「実は算数（数学）って計算問題ですら論理的思考なんじゃん」みたいなことがなんとなくつかめるとグイグイ伸びる可能性は十分あるように思う。

計算問題を機械的にしか処理できない、機械的に処理しなければならないって思ってるこはいつまでたっても先に進めない。

「計算問題なんて電卓があるからやらなくていいんじゃん」っていう手合いである。

こういう子は上述のようなことが概念としてない。

電卓検定有段者には失礼な言い草だが、
使い方さえ覚えさせればサルにも電卓は使える。
つまり、覚えさせれば機械的にサルにも計算させることは出来る。
（はっきり言ってこれは詭弁だし極論である）
でも、筆算や分数の計算、素因数分解などはサルには絶対に出来ない。
人間にしかできない。人間にしか論理的な思考が出来ないから。

だから、計算嫌がりっ子にはいつも言う

「人間になろう！」と

†
せめて、
「計算問題はこつこつやらせてました」とか
「公文に通って計算には自信があります」とか
「漢字検定は毎回受けていて自信があります」とか
「社会がすきで図書館の歴史のマンガ全部制覇してます」とか
「天文オタクで星座全部暗記してます」とか
「草花が大好きで植物には詳しすぎます」とか
なんでもいいからそれまでに何かをやってましたというなら小６からの受験は十分に間に合うと思うんです。というか、急先鋒になる可能性のほうが高い

だけど、
「小学校の成績は上位なんです」程度で中学入試に放り込まれる子はかわいそう。
そういうのに限って親が世間体のことしか考えてない場合が多い。というかほぼ全員。
まぁ、えげつない話こちら側は儲かるからいいと言えばいいんですが

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今日のコマ大数学科の問題は３点反射の最短経路問題でした。

どこかで見たことあるのなぁ〜と思っていたら、H１８の巣鴨高校の入試問題にあったみたいです。

（2007年７月４日追記）

下図のような△ＡＢＣの辺上に点Ｐ，Ｑ，Ｒをおく。
このとき△ＰＱＲの周の長さが最も短くなるのはどのような条件か？
（ただし、△ＡＢＣは鋭角三角形）

解く前に少し前置きを…

この問題を見たとき受験生であればまず最短経路問題を思い出してほしいです。
直線ℓ上の点でＡＰＢを最短にする点Ｐはどこかという問題ですが、
これは線対称の性質を使って出します。


これはどんな参考書にも載っている事項です。

厄介なのは２点反射のときです。

これも線対称の性質を使い図２のようになります。
下の図ではＡ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂが最短経路。

最短経路Ａ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂは線対称の性質から経路Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'と等しいことがわかります。

つまり
Ａ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ＝Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'

Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'は直線であることから最短だとわかります。

本当にそうなのか検証してみたいと思います。
Ｐ'以外に最短経路が存在したとします。Ｐ’以外の点をＰm'としましょう。

先ほどと同様、線対称の性質から

仮経路Ａ→Ｐm'→Ｐ''→Ｂ＝Ａ'→Ｐm'→Ｐ''→Ｂ'

だと分かります。そしてＡ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'は直線であることから

Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'＜Ａ'→Ｐm'→Ｐ''→Ｂ'は明白です。

これは何を意味しているかというとＰ'（Ｐ''も）は少しでも位置をずらすと
経路Ａ→Ｐm'→Ｐ''→Ｂは最短ではなくなるということです。

これで
経路Ａ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂは最短であると分かりました。
これは任意の点で成り立ちます。

以上を前提知識にして問題をみてると…

まず適当に点Ｐを固定してあげるとこれは上述の２点反射と同じ問題になります。
（点Ｐはまだなにも確定要素はありません。とりあえず適当におきます。）
もし点Ｐがこの位置でよいのならこの問題はこれで終わりです。
△ＰＱＲの周を最小にするような点Ｐを決めなければいけません。

線対称の性質から
ＲＰ＝ＲＰ''
ＱＰ＝ＱＰ'

よって、　△ＰＱＲの周＝Ｐ''Ｐ' だとわかります。

これは点Ｐがどこにいても同じです。

△ＰＱＲの周＝Ｐ''Ｐ'

であることから

△ＰＱＲの周の最短を考えること⇒Ｐ''Ｐ'の最短を考えること
ということです。

図形問題はこのように同値関係にあるものを手繰り寄せていって
より簡単な問題に置き換えながら解いていきます。

最早この問題において直線Ｐ''Ｐ'が最短となる条件を見つければよいということです。

さて、直線Ｐ''Ｐ'の長さはどのように変化するんでしょうか

△Ｐ''ＡＰ'をもう少し詳しくみてみましょう

ここでも線対称の性質より、△Ｐ''ＡＰ'は二等辺三角形ということがわかります。

○どうしと×どうしは同じ角度になります。

∠Ａ＝○+×　←後で効いてきます

ＡＰ＝ＡＰ''＝ＡＰ'＝a ←後で効いてきます

さらに△Ｐ''ＡＰ'を詳しくみます。

これが何を意味しているかわかりますか？

点Ｐがどこにあっても直角三角形ＡＰ''Ｈにおいて

∠Ｐ''ＡＨ＝∠Ａ

何をやりたかったかというと、Ｐ''Ｐ'の長さがどうなっているか？という話でした。
そして∠Ｐ''ＡＨが一定であることからＰ''Ｈ（Ｐ''Ｐ'の半分）はaの長さだけで決まるということです。
もっと正確にいえばＰ''Ｈはaの長さに比例するということです。

三角比をつかえば
Ｐ''Ｈ＝a×sin∠Ａ　であるというとです。
（sin∠Ａは定数なのでＰ''Ｈはaに比例する）

以上をまとめると

ＡからＢＣに下ろした垂線の足が点Ｐです。

 図形の対称性から残りＲ，Ｑも垂線の足ということは分かります。

解説おわり

このように図形問題はどんどん同値関係を導いていって、より簡単な問題に帰着できるようにするのが鉄則です。

あと、最初に点Ｐを固定して考えることも。
つまり、最初に３点全部をでたらめに動かしていたのでは埒があかないので、
３点のうち1点だけを固定して考えていこうとう発想は大切です。

ちなみにＨ18の巣鴨高校の問題は具体的な辺のながさが与えられていて最終的には最短距離を出せという問題でした。一応小問による誘導形式になっていましたが、難かったですね。

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先日、小学生の普通コース（中学受験しないクラス）の理科の時間に、消化と吸収の話になった。
そこからさらに胃潰瘍の話になって、さらにその流れでピロリ菌の話になった。

受験理科では既にHOTな話題とはいえないけど、公立小学校の理科でピロリ菌の話は詳しくやらんだろうということで、胃粘膜の機構などの話と絡めつつちょっと詳しく説明してみた。

ピロリ菌について^*

本名はヘリコバクター・ピロリ
発見者はJ. Robin Warren先生とBarry J. Marshall先生
胃粘膜上の強酸性(PH1〜２)環境^†でもウレアーゼなる酵素によってしぶとく生きる
(ウレアーゼを使いアンモニア（アルカリ性）を生成。そいつで自分の周りの胃酸だけを中和)
発見当時は「強酸下で感染出来る生物なんているわけがない」と眉ツバ扱いされたが、発見者自らがピロリ菌を摂取（自飲）して、見事に急性胃炎発症。裏付けの一つとなった。
発見者は2005年、ノーベル生理学・医学賞を受賞

にしてもすごい執念だねピロリは
そこまでして感染したいのか　と。

エクメーネ^**は全地上の88%らしいけど
生物の生存圏は地球の何％なのだろうか・・・？
強酸性中にも生物がいるんだから、もしかしたら溶岩の中とか、電離層なんかにも未確認の生物がいるかもしれない。。

さて、ここでひとつ気になることがあります。
マーシャル先生らはピロリ菌は1980年代には発見しています。
で、ノーベル賞をとったのが2005年です。

記憶に新しい田中耕一さんのノーベル化学賞受賞は2002年でしたがその受賞理由の「タンパク質のイオン化」に初めて成功したのは1980年代です。

ノーベル賞って直ぐにもらえるわけじゃないんですよね。
その発見が本当に正しいのかはもちろん、その後その発見が常識となって十分浸透して、さらに、
「今思えば、あの発見がなかったらこの分野は生まれてすらこなかったよなぁ〜」
っていうくらいになって初めて選考候補に挙がります。

すぐにノーベル賞あげて
「すんません、それ間違った発見でした…」
じゃシャレにならないですからね。

大発見ってだいたい最初は異端扱いを受けるわけです。
パラダイムシフトっていうのは今までの常識が覆ることですから、その発見がそれまでの常識の範囲で理解できるならそれは単なる発展であって転換とは呼べないですから。
だからものすごいエネルギーがいるんですよね。
まず新発見すること自体にエネルギーを使い、さらに、既存の常識を打ち破らないといけない。ものすごい徒労ですよこれは。

ここから強引に勉強の話に持っていこうかなと…
それまで勉強をまったくやってこなくて成績が酷いことになってる子供にただ「勉強しろ」ってのはあまり効果がないと思うんです。その子にとっては"勉強する"という概念がないわけですから、いわば勉強することが非常識になってるわけです。今まで勉強をしてる子にさらに勉強するようにするのとわけが違います。
その子にとってはまさにパラダイムシフトが必要なわけです。ものすごく労力使うはずです。

そう考えると自分で勉強できる子は、次のどちらかに当てはまると思います。
１．以前に自分の中でパラダイムシフトが起きた
２．日々少しづつ自分の中でシフトが起き続けている

自分でどんどん勉強できて、そんでグイグイ伸びていく子ってたぶん後者にあたるんではないかなと思うんです。日々自分を変化させてる。毎日少しづつだから一回分にはそんなエネルギーを使わない。

夏休み前に「高校受験だから」といって

勉強しない体⇒勉強する体

にしようとしても、なかなかうまくいかないのは、そこでドカッと一気に変えようとしてるからです。

よく部活を理由に勉強に向かおうとしない奴（「だって部活だからしょうがないじゃん」っていうようなことを言う奴）がいますが、そういう子ってだいたい部活引退しても勉強しないですよね。

部活を言い訳にして成績が伸びない子でも、少ない時間を何とか工夫してやり繰りしたり、自分なりに努力したけどここがダメだったとしっかり分析できてる子、とにかく自分を変えようとしてる子（実際変わってなくてもいいんです。そうじゃなくて、変えようとしてるってことです）は部活引退したらスッと受験勉強に入っていけるわけです。

実は私も偉そうなことは言えないんですよね。
中学２年までは本当にひどかった。ぐーたらぐーたら。部活すらやってない。やってたことはファミコンと中国文化に触れること（牌と点棒つかうあれです）ぐらいです。もう本当にダメダメでした。
高校入試を機に「人並みに勉強しよう」ってなったんですが、まぁしんどい。とにかくきつくて苦しくてもうあんな経験は二度と御免です。
でもそれからは勉強ってそんな辛いものじゃないくなったんです。高校の成績もまぁまぁの所をキープ出来てましたし。

今の中学校は本当に勉強する土壌がないから、一気に自分を変えようと思っても「あんな経験は二度と御免」程度ではすまないと思います。
そう考えると一度も "知ることの楽しみ" っていうのか "勉学を修める快感" みたいなものを経験しない人がたくさん生まれるってのもさみしいものです。

†胃の環境
胃酸は強塩酸です。アルミとか亜鉛とか簡単に溶けてしまうくらいの強酸です。食物の殺菌、防腐のために酸性にしちゃいます。
胃酸が分泌されるとき、絶妙のタイミングで胃粘膜も同時に分泌されるため胃自体が消化されることはありません。
超強力なタンパク質分解酵素（ペプシン）は強酸性でないと働かないようにできてます。

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前回の答えです。

内容は中学数学（高校受験）の範囲で解けます。
というか、高校受験の問題としても結構な良問だと思います。

この問題に限らず数学の問題では、
不確定なもの（変数など）が多い場合、ひとつのもの（ひとつの変数）を固定して
考えてみると、解決の糸口が見つけやすいです。

この問題でいえば、最大傾斜が1/3は分かっていますから、それを固定して考えていきましょう。
とりあえず傾斜1/3の面を作ってみます。

この最大傾斜の方向は具体的には分かってませんがそれを固定して考えようということです。
心理としてはどうしても南北方向を軸に考えていきたいところですがそこはぐっと我慢です。

この面には当然　南北方向が存在するはずです。その方向は傾斜1/5です。

青いラインが南北方向です。

求めたいのは東西方向ですが、これは南北方向と垂直に交わる線が東西方向ということになります。

これで東西と南北の軸が確定しました。

あとは底面にある東西方向のラインの長さを出せば傾斜がわかります。

つまり上の図のｘを出せばよいことがわかります。
これは直角三角形の相似比の問題になります。

3：5＝4：x

をといて
x=15/4

傾斜は1/xなので

答えは　4/15　

おわり

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俺が塾講師を始めたのが１０年弱前。途中別の仕事に就いていたことがあったので、
塾講師歴は正味６年間くらいでしょうか。

はっきりいって青二才のぺーぺーな私ですが、講師なりたての頃と昨今の生徒は違うなぁと感じることがあります。
ただそれが漠然と
「なんか違うよなぁ」ってうまく言葉にできなかったんですが、最近なんかわかったようななんというか。

１０年くらい前は、生徒に個性があったような気がするんです。
私自身、個性という言葉は大嫌いなんで別の言い方をすれば「多様であった」ってことでしょうか。
良くも悪くもいろんな奴が居た。優等生にもいろんなタイプがいたし、ダメダメ野郎にもいろんなダメっぷりがあった。

具体例を挙げてみろと言われても困るんですが、「いろんな奴がいた」としか言いようがないんですよね。

でも今の生徒は成績が良い奴も悪い奴もみんな同じ。
特に勉強やらない奴はホントに同じ。

「とりあえず、たるい」
「なんつーか、たるい」
「とにかく、たるい」
「っていうか、うざい」

こんな感じです。全員。
程度の差はありますが、基本スタンスはこれです。もう面白いくらいに。
たまに生徒と個別で面談（というか雑談??）するんですが、つまらない。
言うことがだいたいわかっちゃうんですよ。みんな同じこと言いますし。

「豊かな個性を」みたいな世の中の流れに逆行している感があります。
見事な均質集団になっちゃてる気がするんですよね。
とは言っても、日本全国の中学生を見てる分ではないのでなんともいえないんですが、
少なくとも私が担当した生徒ではそういう兆候が出てる気がします。

まぁ、私は
「個性を大切に」とか
「個性的な○○」とか

とにかく"個性"って言葉は大嫌いですから、いいんですけどね。
ただ均質すぎてちょっと気持ち悪いんですよね。

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木曜日の深夜にビートたけしがやってるコマネチ大学数学科（略してコマ大）という番組があって欠かさず観てます。（たけしは数学者になりたかったんだとか）

先週は図形の問題だったんですが苦戦した。っていうか全然分かんなかった。
1983年の東京大学(文系)の入試問題らしい。内容としては中学校の数学でも解ける問題。

苦戦というより、思考の迷路にハマったっていう感じ。

図形問題というのは難しいと思ってるもの程
「あぁ〜、そりゃ言われりゃ簡単だけどさぁ〜。思いつかねぇよ！！」
って感じるんですよね。
これも正にそんな問題でした。答えを聞いたらすごく簡単でした。

たけしは見事正解してました。

”言われりゃ簡単だけどさぁ〜”
って重要ですよ。すごく重要です。

数学を趣味として嗜むのならそれで十分なんです。

その意味で、コマ大数学科ってのはえらい高級な番組ですよね。
いま流行りのトリビア的要素が全くない。純粋に数学を嗜んでる。だから好きです。この番組。

だけど、受験の数学（算数）は違います。
”言われりゃ簡単だけど”と思った誤答も
”ぜんぜんわからんかった…”と思った誤答も
同じゼロ点なんです。

得点するかなしか　All or Nothing　ってやつです。

計算ミスっても０点
正答まであと一歩でも０点
全くわからなくても０点

だから、趣味や学問としての数学と受験数学の方法論は明らかに違います。アプローチの仕方が違います。

受験では正答する精度を上げないといけない。
得点力っていうんですかね？こういうの。

そこが受験のめんどくさいところであり、いいところでもあるんですよね。
精度を上げるには受験用の問題を鬼のように練習すればいいだけのことですからね。

コマ大で出た問題------------------------------------------------------------

傾いた平面上で，もっとも急な方向の勾配(傾き)が1/3であるという。
いま，南北方向の勾配を測ったところ1/5であった。東西方向の勾配はどれだけか。
（勾配1/3とは３ｍ進んだら１ｍ高度が上がっているということ）

1983年　東京大学（文系）　第２問
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答え

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