[一般/数学]コマネチ大学数学科 ファニャーノの問題（H18巣鴨高校類題）

今日のコマ大数学科の問題は３点反射の最短経路問題でした。

どこかで見たことあるのなぁ〜と思っていたら、H１８の巣鴨高校の入試問題にあったみたいです。

（2007年７月４日追記）

下図のような△ＡＢＣの辺上に点Ｐ，Ｑ，Ｒをおく。
このとき△ＰＱＲの周の長さが最も短くなるのはどのような条件か？
（ただし、△ＡＢＣは鋭角三角形）

解く前に少し前置きを…

この問題を見たとき受験生であればまず最短経路問題を思い出してほしいです。
直線ℓ上の点でＡＰＢを最短にする点Ｐはどこかという問題ですが、
これは線対称の性質を使って出します。


これはどんな参考書にも載っている事項です。

 

厄介なのは２点反射のときです。

これも線対称の性質を使い図２のようになります。
下の図ではＡ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂが最短経路。

最短経路Ａ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂは線対称の性質から経路Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'と等しいことがわかります。

つまり
Ａ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ＝Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'

Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'は直線であることから最短だとわかります。

 

本当にそうなのか検証してみたいと思います。
Ｐ'以外に最短経路が存在したとします。Ｐ’以外の点をＰm'としましょう。

先ほどと同様、線対称の性質から

仮経路Ａ→Ｐm'→Ｐ''→Ｂ＝Ａ'→Ｐm'→Ｐ''→Ｂ'

だと分かります。そしてＡ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'は直線であることから

Ａ'→Ｐ'→Ｐ''→Ｂ'＜Ａ'→Ｐm'→Ｐ''→Ｂ'は明白です。

これは何を意味しているかというとＰ'（Ｐ''も）は少しでも位置をずらすと
経路Ａ→Ｐm'→Ｐ''→Ｂは最短ではなくなるということです。

これで
経路Ａ→Ｐ'→Ｐ''→Ｂは最短であると分かりました。
これは任意の点で成り立ちます。

以上を前提知識にして問題をみてると…

まず適当に点Ｐを固定してあげるとこれは上述の２点反射と同じ問題になります。
（点Ｐはまだなにも確定要素はありません。とりあえず適当におきます。）
もし点Ｐがこの位置でよいのならこの問題はこれで終わりです。
△ＰＱＲの周を最小にするような点Ｐを決めなければいけません。

線対称の性質から
ＲＰ＝ＲＰ''
ＱＰ＝ＱＰ'

よって、　△ＰＱＲの周＝Ｐ''Ｐ' だとわかります。

これは点Ｐがどこにいても同じです。

△ＰＱＲの周＝Ｐ''Ｐ'

であることから

△ＰＱＲの周の最短を考えること⇒Ｐ''Ｐ'の最短を考えること
ということです。

図形問題はこのように同値関係にあるものを手繰り寄せていって
より簡単な問題に置き換えながら解いていきます。

最早この問題において直線Ｐ''Ｐ'が最短となる条件を見つければよいということです。

さて、直線Ｐ''Ｐ'の長さはどのように変化するんでしょうか

 

△Ｐ''ＡＰ'をもう少し詳しくみてみましょう

ここでも線対称の性質より、△Ｐ''ＡＰ'は二等辺三角形ということがわかります。

 

○どうしと×どうしは同じ角度になります。

∠Ａ＝○+×　←後で効いてきます

ＡＰ＝ＡＰ''＝ＡＰ'＝a ←後で効いてきます

さらに△Ｐ''ＡＰ'を詳しくみます。

 

これが何を意味しているかわかりますか？

点Ｐがどこにあっても直角三角形ＡＰ''Ｈにおいて

∠Ｐ''ＡＨ＝∠Ａ

何をやりたかったかというと、Ｐ''Ｐ'の長さがどうなっているか？という話でした。
そして∠Ｐ''ＡＨが一定であることからＰ''Ｈ（Ｐ''Ｐ'の半分）はaの長さだけで決まるということです。
もっと正確にいえばＰ''Ｈはaの長さに比例するということです。

三角比をつかえば
Ｐ''Ｈ＝a×sin∠Ａ　であるというとです。
（sin∠Ａは定数なのでＰ''Ｈはaに比例する）

以上をまとめると

△ＰＱＲの周の最短 ↓ Ｐ''Ｐ'の最短 ↓ a（つまりＡＰ）の最短

そうです。つまり、ＡＰが最短になる点Ｐを求めればよいことがわかります。
これはもう簡単ですよね。

ＡからＢＣに下ろした垂線の足が点Ｐです。

 

 図形の対称性から残りＲ，Ｑも垂線の足ということは分かります。

 

解説おわり

 

 

△ＰＱＲの周の最短 ↓ Ｐ''Ｐ'の最短 ↓ a（つまりＡＰ）の最短

このように図形問題はどんどん同値関係を導いていって、より簡単な問題に帰着できるようにするのが鉄則です。

あと、最初に点Ｐを固定して考えることも。
つまり、最初に３点全部をでたらめに動かしていたのでは埒があかないので、
３点のうち1点だけを固定して考えていこうとう発想は大切です。

 

ちなみにＨ18の巣鴨高校の問題は具体的な辺のながさが与えられていて最終的には最短距離を出せという問題でした。一応小問による誘導形式になっていましたが、難かったですね。